सीखें › गणित को समझने के रास्ते › जोड़ और घटाना

मात्रा और अंतर

जोड़ और घटाना

जोड़ हमेशा “और आ गए” और घटाना हमेशा “ले गए” नहीं होता। दो टोकरी के फूल मिलाना जोड़ है; दो बच्चों की पेंसिलों का अंतर पूछना घटाना है, चाहे कोई पेंसिल हटाई न गई हो। कहानी का संबंध समझना ज़रूरी है। केवल “कुल” या “बचे” जैसे शब्द देखकर संक्रिया चुनने की आदत न बनाएँ।

बच्चे से कहानी बोलने, चीज़ें रखने या छोटा चित्र बनाने को कहें। फिर पूछें, “क्या मालूम है? क्या पता करना है?” जब लिखी हुई संख्या उसी दृश्य से जुड़ती है, तब लिखित विधि केवल कदमों का क्रम नहीं रहती।

कक्षा के अनुसार शुरुआत

स्कूलों की पुस्तकों में क्रम अलग हो सकता है। पहले उस संख्या-क्षेत्र में काम करें जिसमें बच्चा मात्रा बना और पढ़ सकता है।

चार विचार जो आगे भी काम आते हैं

1. पूरी संख्या और उसके हिस्से

10 ढक्कनों को दो समूहों में बाँटें। 6 और 4, 7 और 3, 8 और 2: ये सभी 10 बनाते हैं। इन्हें 10 बनाने वाले जोड़े (number bonds) कहते हैं। एक हिस्सा ढककर पूछें कि कितने ढक्कन छिपे हैं। फिर बच्चे से अपना जोड़ा बनवाएँ और हर जोड़े को गिनकर जाँचें।

8 + 5 में पहले 8 को 10 तक पहुँचाया जा सकता है। 5 में से 2 इस्तेमाल हुए, 3 बचे। इसलिए 8 + 5 = 8 + 2 + 3 = 13। इसका मतलब 5 को भुलाना नहीं, उसे 2 और 3 में बाँटना है। चीज़ों से दोनों हिस्से दिखाएँ।

इसी संबंध से 13 − 5 = 8 मिलता है। 8 + 5 = 13 जानना, घटाने का उत्तर समझने में मदद करता है। 20 बनाने वाले जोड़े वाले पन्ने में छोटे संबंधों पर और अभ्यास मिल सकता है।

2. संख्या रेखा पर बढ़ना और अंतर देखना

बड़ी संख्या से आगे गिनना हर बार 1 से शुरू करने का विकल्प है। 9 + 3 के लिए 9 से तीन कदम आगे जाएँ: 10, 11, 12। ध्यान दें कि शुरुआत का 9 कोई आगे वाला कदम नहीं है। यदि बच्चा 9, 10, 11 बोलकर 11 बताता है, तो कदम और खड़े होने की जगह अलग दिखाएँ।

घटाने में पीछे जाना भी संभव है और छोटी संख्या से बड़ी तक का अंतर गिनना भी। 52 − 47 के लिए 47 से 50 तक 3 और 50 से 52 तक 2; कुल अंतर 5। पास-पास की संख्याओं में यह तरीका सुविधाजनक है। हर सवाल के लिए एक ही तरीका ज़रूरी नहीं।

3. हासिल कुल मात्रा को नहीं बदलता

347 + 285 में इकाइयाँ 7 + 5 = 12 हैं। 12 इकाइयों को 1 दहाई और 2 इकाई में बदलें। इकाई के स्थान पर 2 लिखें और बनी दहाई को दहाइयों में जोड़ें। अब 4 + 8 + 1 = 13 दहाइयाँ हैं: 1 सैकड़ा और 3 दहाइयाँ। सैकड़ों में 3 + 2 + 1 = 6। उत्तर 632 है।

कई शिक्षक इसे हासिल (carry) कहते हैं। नई NCERT किताबें इसे पुनः समूहीकरण (regrouping) कहती हैं। हासिल का 1 हर जगह “एक इकाई” नहीं होता: दहाई के स्थान पर वह 10 और सैकड़े के स्थान पर 100 की मात्रा है। तालिका में बने समूह दिखाने से यह फ़र्क सामने आता है।

जाँच के लिए 347 को लगभग 350 और 285 को लगभग 290 मानें: योग लगभग 640 होना चाहिए। 632 उस अनुमान के पास है। अनुमान सही उत्तर का स्थान नहीं लेता, पर जगह या हासिल की बड़ी गलती पकड़ सकता है।

4. उधार लेना भी समूह बदलना है

532 − 178 में 2 इकाइयों से 8 इकाइयाँ नहीं हटाई जा सकतीं, इसलिए 1 दहाई को 10 इकाइयों में बदलें। अब 12 − 8 = 4। दहाइयाँ 3 से 2 रह गई थीं; 7 दहाइयाँ हटाने के लिए 1 सैकड़े को 10 दहाइयों में बदलें। अब 12 − 7 = 5 और सैकड़ों में 4 − 1 = 3। उत्तर 354 है।

उधार (borrow) का मतलब किसी दूसरी संख्या से कुछ माँगना नहीं है। ऊपर वाली संख्या 532 की अपनी व्यवस्था बदली है, उसकी कुल मात्रा नहीं। इसे 5 सैकड़ा, 3 दहाई, 2 इकाई से 4 सैकड़ा, 12 दहाई, 12 इकाई के रूप में समझ सकते हैं।

शून्य वाले उदाहरण में बीच के बदलाव दिखाना ज़रूरी है। 500 − 278 के लिए 500 को 4 सैकड़ा, 9 दहाई और 10 इकाई में बदलें। फिर 10 − 8 = 2, 9 − 7 = 2 और 4 − 2 = 2; उत्तर 222। बच्चे से हर बदलाव के बाद कुल 500 जाँचने दें।

उत्तर की जाँच कैसे करें?

जोड़ और घटाना एक-दूसरे की जाँच कर सकते हैं। 532 − 178 = 354 की जाँच: 354 + 178 = 532। उत्तर के साथ उसकी इकाई भी लिखें: 354 पेंसिलें, ₹354 या 354 मीटर? बिना इकाई का सही अंक भी कहानी का अधूरा उत्तर हो सकता है।

छोटे जोड़ में 245 + 32 को 245 + 30 + 2 = 277 लिखा जा सकता है। ऐसे सवाल में स्तंभ विधि ज़रूरी नहीं। बच्चे से दो तरीके दिखवाएँ और पूछें कि किसमें उसे संख्या का संबंध अधिक साफ़ दिखा।

गलतियाँ और उनका छोटा सुधार

• हर स्तंभ में बड़े अंक से छोटा घटाना: 52 − 38 को 26 कहना कहानी और मात्रा से जाँचें; संख्याओं की जगह मनमाने ढंग से नहीं बदल सकती।
• दहाई को इकाई के नीचे रखना: शुरुआत में स्थानीय मान के खाने बनाकर लिखें।
• उधार के बाद पुराना अंक रखना: चीज़ों का समूह वास्तव में खोलकर बची मात्रा गिनें।
• जोड़ और घटाने को शब्दों से चुनना: कहानी में कौन-सी मात्रा मालूम नहीं है, यह पहचानें।

पाँच मिनट के खेल

1. छिपे ढक्कन: कुल 12 बताएँ, 5 दिखाई दें। छिपे 7 के लिए बच्चे की वजह सुनें।
2. 10 तक पुल: 7 + 6 जैसी संख्या दें। बच्चा पहले 10 बनाने वाला हिस्सा अलग रखे।
3. दो टोकरी: एक में 15, दूसरी में 11 चीज़ें रखें। कुल और अंतर दोनों पूछें।
4. गलत उत्तर का जासूस: हासिल छूटने वाला एक उदाहरण दें; बच्चे से गलती खोजकर मात्रा से समझाने को कहें।
5. अपनी कहानी: 28 − 9 के लिए हटाने वाली और तुलना वाली दो कहानियाँ बनवाएँ।

इंडी की चुनौती

मुफ़्त वर्कशीट

10 बनाने वाले जोड़ेकक्षा 1 · वे जोड़े जिनका जोड़ 10 हैPDF डाउनलोड करें

बड़े अक्षरों में · आसान भाषा में

ब्रेल (BRF) (1 KB) · ब्रेल टेक्स्ट (3 KB)

20 बनाने वाले जोड़ेकक्षा 1, कक्षा 2 · वे जोड़े जिनका जोड़ 20 हैPDF डाउनलोड करें

बड़े अक्षरों में · आसान भाषा में

ब्रेल (BRF) (1 KB) · ब्रेल टेक्स्ट (3 KB)

20 तक जोड़ और घटानाकक्षा 1, कक्षा 2 · 20 तक के मिले-जुले सवालPDF डाउनलोड करें

बड़े अक्षरों में · आसान भाषा में

ब्रेल (BRF) (2 KB) · ब्रेल टेक्स्ट (4 KB)

हासिल वाला जोड़कक्षा 3 · तीन अंकों की संख्याओं का खड़ा जोड़, हासिल के साथPDF डाउनलोड करें

बड़े अक्षरों में · आसान भाषा में

ब्रेल (BRF) (1 KB) · ब्रेल टेक्स्ट (3 KB)

उधार वाला घटानाकक्षा 3 · तीन अंकों की संख्याओं का खड़ा घटाना, उधार के साथPDF डाउनलोड करें

बड़े अक्षरों में · आसान भाषा में

ब्रेल (BRF) (1 KB) · ब्रेल टेक्स्ट (3 KB)

आपके सवाल

गलती की सूचना दें